|
L. E. J. Brouwer 1881-1966
en de “Gemeenschappelijke Kern”- Stelling (GKS) Wij willen de uitgevers bedanken voor de uitnodiging om aan deze uitgave bij te dragen. Bij de ontwikkeling van de ideeën, die wij hier voorleggen, hebben wij de vruchten geplukt van discussies met een aantal personen. In het bijzonder zijn we dank verschuldigd aan John en Cheryl Dawson, Mitsu Hadeishi, Piet Hut, William Kallfelz, Juliette Kennedy, Rudy Rucker, Steven Tainer, en Olav Wiegand. Bovendien zijn wij de familie Dawson erkentelijk voor het ons welwillend ter beschikking stellen van de een catalogus van Gödels privé-bibliotheek, en de familie Sonnenberg voor het ons verschaffen van uitmuntende voorwaarden om samen te werken. Een onzer, van Atten, verrichtte zijn werk onder een Postdoctoraal Fellowship van het Fonds voor Wetenschappelijk Onderzoek-Vlaanderen (België), dat in dank vermeld wordt. Mark van Atten en
Robert Tragesser
Thans gepubliceerd in W. Deppert and M. Rahnfeld (red.), Klarheit in Religionsdingen Leipzig: Leipziger Universitätsverlag 2003, pp.145160. David Hilbert opende ‘Het Axiomatische Denken’ [15] met de opmerking dat ‘de belangrijkste dragers van het wiskundige denken,’ ‘in het belang van de wiskunde zelf, altijd […] de verbanden met het domein van de fysica en de [filosofische] kennistheorie hebben gecultiveerd.’ Wij hebben in L.E.J Brouwer en Kurt Gödel twee van die ‘zeer belangrijke dragers van het wiskundige denken’, die de verbanden met de filosofie in het belang van de wiskunde hebben gecultiveerd (zij het niet alleen daarom). En in het cultiveren van de verbanden met de mystiek in het belang van de wiskunde (zij het niet daarom alleen), zijn beiden de filosofie voorbijgegaan. Er bestaat een basisopvatting van mystiek, die hier bijzonder relevant is. (‘Mystiek’ benoemt dat.) Die komt overeen met een basisopvatting van filosofie (‘Filosofie’), die hier ook bijzonder relevant is. Zowel de Mysticus als de Filosoof begint in een toestand van een nogal onaangenaam, existentieel onbehagen, en streeft naar een toestand van duurzaam welbehagen. Voor de Mysticus en de Filosoof bestaat de weg naar dat welbehagen, door onderricht over het werkelijke en ware goede van alle dingen. Om die reden zijn Mystiek en Filosofie drievuldig optimistisch: er bestaat een werkelijk, waarachtig goede van alle dingen, de Filosoof en de Mysticus kan erover onderricht worden en, aldus onderricht, kan het hen welbehagen schenken. Die queeste naar Verlichting vloeit voort uit een soort cognitief of verstandelijk bezig zijn met wat wij hier ‘Het Goede’ zullen noemen. Sommigen gebruiken ‘Het Absolute’, wanneer het van belang lijkt te zijn te benadrukken, dat ‘Het Goede’ onvoorwaardelijk is—er is niets achter en niets boven. Anderen gebruiken ‘Het Ene’; weer anderen, ‘God’. Het is menselijk om Het Goede als iets geest-achtigs, of als iets dat zich (permanent) in de geest bevind, te beschouwen. In beide gevallen moet het op een of andere manier homogeen met, of in overeenstemming met onze geest zijn, want Het Goede moet onze geest verlokken en een handje helpen om zich ermee bezig te houden. Op die manier kan het ons verlichten. Het onderscheid tussen Filosofie en Mystiek is een gradueel verschil. Filosofie wordt overheerst door het streven naar het tot uitdrukking brengen en rationeel bewijzen van alle aanspraken en inzichten. Mystiek wordt niet zo overheerst. Maar desalniettemin, misschien ergens op een punt dichtbij Het Goede, waar tot dan toe elke stap rationeel bewezen is, zou de Filosoof toch de uiteindelijke en meest sublieme verlichting kunnen bereiken, maar zou dan beseffen, dat het zijn vermogen of belang te boven gaat om de inhoud daarvan uit te drukken of rationeel te bewijzen. Het zou zijn belang te boven kunnen gaan, omdat het grootse inzicht zo stralend en scherp is, zo onontkoombaar helder en zeker dat, wat voor rationeel bewijs dan ook, op zijn best slechts iets betrekkelijk duisters en minder meeslepends zou opleveren. Gödel heeft zo’n ervaring aan verschillende filosofen toegeschreven: Ikzelf heb zo’n ervaring nooit gehad. Voor mij bestaat er geen absolute kennis: alles gebeurt slechts naar waarschijnlijkheid. Zowel Descartes als Schelling hebben nadrukkelijk gewag gemaakt van een ervaring van plotselinge verlichting, waarbij zij alles in een ander licht begonnen te zien [22, p.170]Als we een Filosoof tegenkomen, die vanuit zo’n ervaring iets beweert, zonder dat hij erin slaagt die bewering rationeel te staven, dan kunnen wij wat hij ons gegeven heeft als Mystiek beschouwen. In het volgende zullen we het beoefenen van Mystiek beschouwen, als een poging om manieren te vinden om dit Goede onmiddellijk te ervaren. Het beoefenen van de Filosofie is de poging Het Goede verstandelijk te beschrijven. Hieronder zullen we beschrijven hoe Brouwer en Gödel ieder, mystiek en wiskunde met elkaar in verband brengen, en zullen we ze met elkaar vergelijken. Op basis daarvan, zullen we vervolgens een gedeeltelijk argument aandragen tegen wat bekend is als ‘de gemeenschappelijke (of universele) kern-stelling’ (GKS). De GKS wil zeggen, dat de verschillende vormen van Mystiek uiteindelijk allemaal slechts verschillende manieren zijn om dezelfde kern van waarheden uit te drukken. Voor ons lijkt het alsof de “gemeenschappelijke kern”-stelling in twee hoofdstellingen ontleedt kan worden: (a) Mystiek beweert dat de Werkelijkheid Goed is. Mystiek beoefenen beoogt dit Goede te zien.(b) Dit Goede is objectief, d.w.z. hetzelfde voor alle soorten mystiek. Natuurlijk is (a) slechts een minimale kenschetsing van mystiek. Het gaat aan de meeste aspecten van mystiek (bijv. het gevoel van gelukzaligheid) voorbij, maar het lijkt over het algemeen juist. Wij beschouwen het als empirisch juist. De ‘Werkelijkheid’ met een hoofdletter ‘W’ heeft een andere betekenis, dan de ‘alomvattende werkelijkheid’. Het laatste is ongetwijfeld eenheid, in de tautologische zin, dat er niets buiten kan bestaan. Maar aan Het Goede, bekend uit mystieke tradities, kleeft meer betekenis. Wat de GKS op het eerste gezicht onwaarschijnlijk maakt is dat we onder de verschillende mystieke tradities, en zelfs binnen elke traditie, zoveel verschil van mening vinden over de expliciete leer en methodologie. Het belang van de “gemeenschappelijke kern”-stelling hangt echter af van het bestaan van dergelijke meningsverschillen, want bij het ontbreken daarvan zou die nagenoeg nietszeggend waar zijn. Er bestaat een ietwat analoge kwestie in de wetenschapsfilosofie: wetenschappelijke realisten houden er, met betrekking tot wetenschappelijke theorieën door de eeuwen heen, een “gemeenschappelijke kern”-stelling op na. Deze theorieën vertonen een enorm gebrek aan overeenstemming; toch is de realist de mening toegedaan, dat zij allemaal aan dezelfde objectieve werkelijkheid uitdrukking geven. Wij herinneren aan de metafoor die Leibniz gebruikte: Dezelfde stad kan er heel verschillend uitzien, afhankelijk van de richting van waaruit je nadert. Vanzelfsprekend biedt, noch de analogie met het wetenschappelijk realisme, noch de metafoor van Leibniz steun aan de GKS. Zij suggereren alleen maar hoe de stelling waar zou kunnen zijn ondanks het, op het eerste oog, bewijs daartegen. De redenering, die wij willen voorstellen, heeft tot doel de argumenten voor de GKS af te zwakken. Wij proberen daarmee aan te tonen, dat de uitdrukkingen waarmee Gödel en Brouwer naar Het Goede verwijzen, onmogelijk op hetzelfde kunnen doelen (Gödel heeft het over ‘Het Absolute’, Brouwer heeft er geen woord voor maar spreekt over een terugkeer van het bewustzijn naar ‘zijn diepste thuis’). Dit laat de mogelijkheid open, dat ten minste een van beiden, er zelfs helemaal niet naar verwijst. Het zou kunnen dat Het Goede, zoals het door Brouwer opgevat wordt, niet bestaat, en het zou kunnen dat Het Goede, zoals het door Gödel opgevat wordt, niet bestaat. Je kunt wel willen verwijzen naar iets wat niet bestaat, maar dat kun je niet waarmaken. Derhalve is een betoog, vanaf de aanname dat ten minste een van beiden niet bestaat, naar de conclusie dat Gödel en Brouwer niet naar hetzelfde kunnen verwijzen, nietszeggend. Wat er resteert, is aan te nemen, dat beiden bestaan en te zien of je ook dan de conclusie kunt trekken, dat zij inderdaad niet hetzelfde kunnen zijn. Daartoe zullen we het laatste geval onder ogen nemen. 1 Brouwer’s Mystiek Brouwer dacht (had ervaren!) dat er een “diepste thuis’ van het bewustzijn was [5]. In het diepste thuis, schommelt ons ervaren tussen stilte en gewaarworden. Daar bestaat geen onderscheid tussen subject en object. Deze toestand identificeert Brouwer met wijsheid. (vergelijk [3, p.108] en [5, p.1240]). Ons besef van dingen en andere mensen ontspringt in verscheidene stadia, op wat hij een ‘uittocht’ van bewustzijn uit het diepste thuis noemt. De eerste stap van die uittocht is het resultaat van een optreden van de vrije wil, dat een besef van tijd introduceert. In feite is het tijdsbesef een eerste vereiste voor het je bewust zijn van dingen en mensen (incluis jezelf, als een belichaamd persoon) en al het andere in de buitenwereld. Het is het besef van tijd, dat een afstand introduceert tussen het ervarende ‘Ik’ en wat ervaren wordt. Het laatste gaat als een herinnering over in het verleden, terwijl het eerste in het stromende ‘nu’ blijft. Dit is het ontstaan van de doelgerichtheid (een woord dat Brouwer niet gebruikt). Brouwer noemt bewustzijn, in zoverre het doelgerichtheid vertoont, ‘geest’ (wij zullen, na de discussie over dit bepaalde aspect van Brouwer’s filosofie, dit woord niet in zijn technische zin gebruiken). Eenmaal op zijn plaats, ontwikkelt de geest zich verder, waarbij het bewustzijn zich overgeeft aan de neiging gewaarwordingen in complexen te arrangeren, met name in ‘causale ketens’ en ‘dingen’; waarbij de eersten een middel zijn, om de wil in staat te stellen, de laatsten te beheersen. Wat voor greep al die geest-specificerende inhouden op het afzonderlijke zelf ook mogen hebben, het is een zichzelf in stand houdende greep; het zelf zou zich, in principe en in de praktijk, uit die greep kunnen bevrijden, door alle relevante gewaarwordingscomplexen op te geven, want van die complexen is gebruik gemaakt, op basis van een absoluut vrije wil, die intrinsiek aan het bewustzijn is. Iedereen kan de innerlijke ervaring hebben, dat hij zich willekeurig naar een toestand zonder besef van tijd kan dromen en zonder de scheiding tussen het ‘Ik’ en de wereld van gewaarwordingen, of dat hij die laatste scheiding door eigen inspanning teweeg kan brengen [4, p. 154] [onze vertaling]Ook de wiskunde, zegt Brouwer, is opgebouwd uit ons ervaren van de tijd, net als bij Kant—vandaar de naam ‘intuitionisme’ voor Brouwer’s filosofie van de wiskunde, die naar de zuivere intuitie van de tijd verwijst. De afzonderlijke (de natuurlijke getallen) komen voort uit ons gewaarworden van opeenvolgende “nu’s”, de ononderbroken (d.w.z. de rechte lijn) uit ons gewaarworden dat tijd een stroom is en dat er daarom iets “tussen” de afzonderlijke “nu’s” bestaat. In, wat Brouwer het ontvouwen van deze grond-intuitie noemt, wordt alle wiskunde tot leven geroepen. In deze beschrijving is de wiskunde een schepping van de individuele geest. Het beschrijft geen onafhankelijke werkelijkheid. Het ontstaat in een wilshandeling. Anderzijds worden, bij het formaliseren van de wiskunde, alle mogelijke wilselementen zorgvuldig uitgesloten. Dat is de reden waarom Brouwer het formaliseren van de intuistische logica (zoals zijn leerling Heyting dat wel gedaan heeft) en het opstellen van een formele theorie over de rol van het subject in de wiskunde, vermeden heeft. Wat het laatste streven betreft, heeft Stanley Rosen terecht opgemerkt dat Analytische filosofie [. . . ] objectiveert het subject, of ziet de aanwezigheid van het subject in de structuur van de hoofdstelling over het hoofd. [. . . ] Deze tendens wordt geïllustreerd in de poging van Kreisel en anderen om Brouwer’s idee van het scheppende subject, dat het vermogen van de wiskunde tot uitdrukking brengt, te verwiskundigen, een vermogen dat zelf niet in wiskundige termen uitgedrukt kan worden. [17, p.186]Als je er naar kijkt vanuit het filosofische en niet slechts vanuit een technisch oogpunt, is volgens Brouwer, het je met wiskunde bezighouden, een van de eerste dingen, die het bewustzijn het diepste thuis uitleiden. Het bewustzijn bouwt zijn wereld op door een ‘exodus vanuit het diepste thuis’ in gang te zetten. We hebben gezien, dat hij deze bouwprocessen op reeksen van gewaarwordingen ziet werken, en dat is waar de wiskunde zijn intrede doet. Dat gebeurt niet alleen bij het verrichten van technische arbeid, maar alleen al bij het construeren van 1 en 2 zit je, volgens Brouwer, op het verkeerde spoor! In zijn aantekenboekjes, waarin hij zijn dissertatie van 1907 uitbroedde, staan allerlei verrassende opmerkingen, over hoe destructief dat hij denkt, dat de wiskunde is. Men vindt daar bijvoorbeeld juweeltjes als ‘Je zou de afschaffing en verlossing van alle wiskunde als je levensdoel kunnen beschouwen.’ [8, p. 83]. En hij meende het: gedurende zijn hele loopbaan maakt Brouwer in zijn geschriften opmerkingen over hoe de wiskunde (en de daarop gebaseerde natuurwetenschappen) grote ellende in ons leven brengt en ons ervan weerhoudt weer wijs te worden (door terug te keren naar ons diepste thuis). Zonder besef van tijd kan er geen wiskunde bestaan. Maar vrij van de wiskunde zijn, is juist waar we, in onze jacht naar het diepste thuis, naar zouden moeten streven. En er is zelfs een mogelijkheid de taal te gebruiken om mystieke ervaringen aan te duiden; maar niet in de vorm van analytisch (d.w.z. wiskundig gestructureerd) proza: Misschien is de grootste verdienste van de mystiek, dat zij een taal, onafhankelijk van de wiskundige systemen van menselijke intrige, gebruikte en ook onafhankelijk van de rechtstreekse dierlijke emoties van angst en verlangen. De mystieke schrijver zal zelfs alles, wat naar wiskunde of logica riekt, zorgvuldig vermijden: zwakke geesten zouden er anders gemakkelijk toe gebracht kunnen worden wiskundig te geloven en te handelen buiten het domein waar dit, of door de gemeenschap of door hun eigen strijd voor het bestaan, vereist is en in allerlei soorten dwaasheid kunnen eindigen. [19, pp. 409–410]Als voorbeeld van zo’n taal citeert Brouwer, in 1905, uit Meester Eckehart en Jacob Böhme [1]; en in 1948, uit de Bhagavad Ghita [5]. Het verstand heeft daar niets mee van uitstaande. Toegang tot Het Goede is slechts mogelijk als het verstand is uitgeschakeld. In een recensie (1915) van een boek met de titel ‘Geometrie en Mystiek’, schreef Brouwer: Aangezien het maken en waarnemen van wiskundige vormen in de Anschauungswereld, een voorbereiding voor en een gevolg is, van het verstandelijke zelfbehoud van de mens, en aangezien theoretische wiskunde slechts gedefinieerd kan worden als de activiteit van het afgezonderde verstand, en aangezien bovendien het mystieke zien pas begint, nadat het verstand in slaap gevallen is, kan noch praktische noch theoretische meetkunde iets met mystiek van doen hebben. [8, p. 287] [oorspronkelijke accenten]Wij merken op dat mystieke praktijk voor Brouwer een ernstige en eenzame zaak was. Bij een bezoek aan Krishnamurti, zei Brouwer tegen een vriend: ‘Goeie genade, dit is de babykamer van de filosofie’. [9, p. 324] [onze vert.] Voor Brouwer speelt, in het spirituele leven, het verstand een negatieve rol. Wiskunde is een nood-zakelijke stap, weg van het begrijpen van de mystieke waarheid, naar het begrijpen van de buitenwereld, het eigen lichaam en de medemensen. 2 Gödel’s Mystiek Rudy Rucker heeft verslag gedaan van zijn gesprekken met Gödel over mystiek [18, pp.182–183]. Gödel’s filosofie van de wiskunde wordt platonisme genoemd.. Hij was de mening toegedaan, dat wiskundige objecten een deel van de objectieve werkelijkheid vormen, en dat het de taak van de wiskundige is, die objecten waar te nemen en te beschrijven. Gödel heeft ooit een aantal zeer korte opmerkingen gepubliceerd over hoe wij abstracte wiskundige objecten waarnemen op een manier, die analoog is aan onze waarneming van concrete objecten [12]. Rucker, die verduidelijking van deze opmerkingen wilde, vroeg Gödel ‘hoe je het best de zuivere abstracte mogelijkheid kunt waarnemen’. Gödel zegt, dat je eerst je andere zintuigen af moet sluiten, door bijvoorbeeld op een rustige plek te gaan liggen en ten tweede, dat je actief moet zoeken. Uiteindelijk, Derhalve is, volgens Gödel, wiskunde bedrijven een manier om in contact met Het Absolute te komen. Niet zozeer het bestuderen van de wiskunde op zich, maar het bestuderen ervan met een bepaalde geestesgesteldheid. Dan is er geen scheiding tussen wiskundige en mystieke praktijk. Het ene is onderdeel van het andere en Het Goede van de wiskunde is onderdeel van Het Goede. Gödel heeft ook over zijn belangstelling in het aanschouwen van Het Absolute gesproken met zijn Eckermann (medewerker en vriend van Goethe, schreef: Gespräche mit Goethe in den letzten Jahren seines Lebens), Hao Wang. Wang deelt mee: In de late vijftiger jaren begon Gödel een interesse te ontwikkelen voor de fenomenologie van Edmund Husserl. Naast een specifieke toepassing van de fenomenologie op de grondslagen van de wiskunde, had Gödel een bredere belangstelling. Dit is ook weer aan Het Absolute gerelateerd. Tegen Wang zei hij: en, zoals we hierboven gezien hebben, Later was Husserl meer net als Plato en Descartes. Het is mogelijk om een zodanige gemoedstoestand te bereiken, dat je de wereld anders ziet. Een fundamenteel idee is het volgende: de ware filosofie is (wordt bereikt door) zoiets als een religieuze bekering. [22, p. 293]Het is waarschijnlijk, dat Gödel gepoogd heeft zo’n verlichting of bekering te ervaren. In dit verband merken we op, dat Gödel’s persoonlijke bibliotheek, behalve boeken over Christendom en Islam, inleidingen in het Boeddhisme, uitgaven van de Wachttoren, werken over theosofie en een aantal over spiritisme, ook bevatte Wallace, R.K. (1973) The physiological effects of transcendental meditation, 3rd ed., MIU Press.Op de vraag van Rudy Rucker aan Gödel of hij geloofde, dat er één enkele Geest achter alle verschillende verschijningen en bezigheden van de wereld steekt [18, 183], beaamde Gödel dat: ‘ja, de geest is het ding dat gestructureerd is, maar de Geest bestaat onafhankelijk van zijn individuele eigenschappen.’ Toen Rucker Gödel verder vroeg of hij geloofde, dat de Geest, in plaats van dat die in de breinen van de mensen gelokaliseerd is, overal aanwezig is, beaamde Gödel dat opnieuw en zei: ‘Natuurlijk. Dat is de fundamentele leer van de mystiek.’ Gödel was ervan overtuigd dat ‘de wereld rationeel is’, en dat die rationaliteit door de geest bevat kan worden: ‘Er bestaat een wetenschappelijke (exacte) filosofie en theologie, die betrekking heeft op begrippen van het hoogste abstractieniveau; en dat is ook voor de wetenschap uiterst vruchtbaar’ [22, p. 316]. Dus voor Gödel moet het verstand een positieve rol in het spirituele leven spelen. 3 Vergelijking tussen Brouwer en Gödel: de wiskunde en Het Goede We hebben gezien, dat zowel Gödel als Brouwer op zoek waren naar mystieke ervaringen, waarin het gaat om een openstaan van de geest voor Het Absolute. Wat in dergelijke ervaringen onthuld wordt, zweemt ernaar, dat er iets aan de persoon wordt geschonken. Het geschonken worden wordt voorafgegaan door een voorbereiding of transformatie van die persoon. Het zelf moet in een toestand worden gebracht, om wat er geopenbaard wordt te ontvangen, te bevestigen en naar waarde te schatten. Over die voorbereiding heeft zowel Brouwer (het verzaken van de wiskunde) als Gödel het (het afsluiten van de zintuigen, etc) Zij hebben echter zeer verschillende dingen beweerd over hoe het geopenbaarde op de wiskunde betrekking heeft. Wat ons opvalt is, hoe de band tussen de wiskunde en de mystiek bij Gödel en Brouwer even hecht is, maar dat, zogezegd, de symptomen verschillend zijn. Volgens beiden verbindt de wiskunde het individuele denken met de ultieme werkelijkheid, maar Gödel denkt aan een positief en Brouwer aan een negatief verband. Voor Gödel is wiskunde bedrijven een manier om zich toegang tot Het Absolute te verschaffen. Voor Brouwer verhindert bezig zijn met wiskunde juist de toegang tot Het Absolute. Anders gesteld: volgens Gödel onthult de wiskundige ervaring (een deel van) de Werkelijkheid; volgens Brouwer verbergt de wiskundige ervaring de Werkelijkheid. Een mystieke openbaring en betekenis ervan, heeft het fenomenologische kenmerk over zich, van dat het een vorm van kennen of verlicht begrijpen is; het openbaart Het Goede, de kostbare en de belangrijke en fundamentele waarden. Daarom zullen we proberen het verschil tussen Brouwer en Gödel te formuleren in termen van Het Goede. Wat denken zij over het verband tussen Het Goede en de wiskunde, en wat denken ze dat het goede van de wiskunde zelf is? (G.H. Hardy [14] probeert het goede van de wiskunde en het goede van de wiskunde in relatie tot zichzelf, naar waarde te schatten. Maar hij doet zijn uiterste best om mystieke wegen te vermijden. Dit geeft de tegenstelling aan tussen mystieke en niet mystieke waarde-bepalingen) Laten we de historische wiskunde, de wiskunde zoals die nu bestaat en standaard beoefend wordt, H-wiskunde noemen. We kunnen spreken over het goede van de goedheid van hamers, die we zomaar in onze gereedschapskist kunnen vinden. Maar voor dat goede zou die hamer wel eens niet de best mogelijke kunnen zijn. Op dezelfde manier zou het best eens kunnen zijn, dat het goede van de wiskunde niet optimaal, door welke H-wiskunde dan ook, gediend wordt. Dat wil zeggen, dat de wiskunde op z’n best (aangenomen wat het goede van de wiskunde is), best anders zou kunnen zijn dan de H-wiskunde. Brouwer’s intuitionistische wiskunde wordt vaak opgevat als niet meer dan een epistemologische of semantische aangelegenheid. Maar het kan beter opgevat worden als een hervorming van de H-wiskunde in de richting van een beter dienstig zijn aan het goede van de wiskunde. Brouwer heeft geprobeerd een wiskunde te realiseren, die tegelijkertijd een schepping van de vrije wil is, ter wille van de meest volledige, meest vrije en meest concrete uitvoering van de wil. Onze wil en innerlijke tijd bestaan gelijktijdig en de innerlijke tijd is, waar de wil de causaliteit ontmoet. Het uiteindelijk beheersen van het structureren van de tijd, is de meest zuiver mogelijke voorbereiding voor de wil om zich in de causaliteit te oefenen, door middel van die tijdelijke structuren, die de structuren van de intuitionistische wiskunde zijn. Zo voorgesteld is het goede van de wiskunde, dat het onze wil naar macht vergemakkelijkt. Brouwer’s programma laat zien hoe een bepaald begrip van het goede van de wiskunde een revisionaire uitwerking op de wiskundige praktijk kan hebben. Bedenk ook dat we over het goede van iets kunnen spreken zonder dat dat goede uiteindelijk gunstig voor ons uitpakt, en op die manier geen deel van Het Goede is. Dit is de manier waarop Brouwer over het goede van de wiskunde spreekt. Het vergemakkelijkt onze wil naar macht, maar helpt daardoor mee aan het verergeren van onze Gevallen Toestand, en in die zin is het een kwaad. Het goede van de wiskunde valt niet samen met welk absoluut goede dan ook. Zoals Brouwer in zijn aantekeningen al opmerkte, ‘dat de wiskunde en de toepassingen ervan zondig zijn, volgt uit de intuitie van tijd, dat direct als zondig gevoeld wordt.’ [8, p. 83]. Wat Brouwer bedoelt is, dat het de beweging van de tijd is, die naar de weg leidt, die uit het diepste thuis wegvoert; alles dat je ervan weerhoudt daarnaar terug te keren wordt als ‘zondig’ aangeduid. Desondanks erkende Brouwer een meer intrinsieke, maar beperkte of voorwaardelijke goedheid in delen van de wiskunde. Hij zegt bijvoorbeeld over de klassieke logica, Gelukkig ontleent de klassieke algebra van de logica zijn verdiensten volledig gescheiden van de vraag van zijn toepasbaarheid voor de wiskunde. Het heeft niet slechts, als een formeel beeld van de techniek van nuchter denken, een hoge graad van perfectie bereikt, maar ook op zichzelf, als een gedachtebouwwerk, is het iets van een uitzonderlijke harmonie en schoonheid. Zijn opvolger, de weelderige symbolische logica van de twintigste eeuw, die op dit moment doorlopend de meest boeiende problemen oproept en de meest verrassende en indringende ontdekkingen doet, wordt inderdaad op dezelfde manier, grotendeels ter wille van zichzelf, beoefend. [6, p. 116]Een overigens verhevener schoonheid is diegene, die men in de intuitionistische wiskunde aantreft: Maar de meest volledige constructieve schoonheid is de introspectieve schoonheid van de wiskunde, waar […] men de basale intuitie zich vrij laat ontplooien. Deze ontplooiing is niet aan de buitenwereld gebonden en daardoor niet aan eindigheid en verantwoordelijkheid; dientengevolge kunnen de introspectieve harmonieën ervan elke graad van rijkdom en helderheid bereiken. [5, p.1239]Maar noch de klassieke, noch de intuitionistische wiskunde heeft deel aan de ultieme of meest verheven schoonheid. Het zou het beste zijn van de logica en de wiskunde afstand te doen, teneinde naar het diepste thuis terug te keren: ‘In wijsheid bestaat geen logica’ [3] [vert. CW 110]. Voor Brouwer wordt de waarde van het filosofische onderzoek van de wiskunde aangetoond, doordat het het verband tussen het goede van de intuitionistische en de klassieke wiskunde, en tussen het goede van de wiskunde en Het Goede, aan het licht brengt. ‘Onderzoek naar de grondslagen van de wiskunde is een inwendig onderzoek met onthullende en bevrijdende gevolgen, ook in niet-wiskundige domeinen van het denken’ [5, p. 1249]. Aan de andere kant hebben we gezien, dat voor Gödel het goede van de wiskunde onderdeel van Het Goede is. Dit staat hem toe verwachtingen van Het Goede te vormen, als projecties vanuit wiskundige kennis: Men gebruikt inductief bewijs. Het is verrassend dat we, in sommige delen van de wiskunde, volledige ontwikkelingen krijgen (zoals menig werk door Gauss in de getaltheorie). Wiskunde heeft een vorm van volmaaktheid.Bij Brouwer is wiskunde derhalve een wilshandeling, terwijl bij Gödel wiskunde beschouwing is. Vandaar Brouwer’s ongeïnteresseerdheid in theoretische waarden in de wiskunde (waarden die beschouwende kennis, begrijpen, bevorderen), en vandaar Gödel’s obsessie met de theoretische (beschouwende) vorm van wiskunde. (Dit onderscheid tussen wiskundige visies, opgehangen aan beschouwing en wil heeft, tussen twee haakjes, ook betrekking op de oude kwestie of wiskunde een ‘kunst’ of een ‘wetenschap’ is. Het eerste correleert wiskunde met werkzaamheden, verrichtingen, beheerste wilsuitingen en uitgekiend vakkundige handelingen; de laatste correleert wiskunde met betoog, bewijs, zien en inzichtsvol begrijpen). Het contrast tussen de twee stellingnamen wordt goed geïllustreerd door het volgende citaat van Brouwer, Strikt gesproken is de constructie van de intuitieve wiskunde op zichzelf, een handeling en geen wetenschap; het wordt pas een wetenschap […] in een wiskunde van de tweede orde, die bestaat uit de wiskundige beschouwing van de wiskunde of van de wiskundige taal [2, p. 99] [vert. CW p. 61; oorspronkelijk accentuering)vergelijkbaar met Plato’s uitspraak in de Republiek, 527a6-b1, Zij [d.w.z. de meetkundigen] spreken op een wijze die belachelijk en dwingend is; want ze spreken alsmaar over kwadrateren en optellen, alsof ze iets doen en al hun stellingen ontwikkelen ter wille van de handeling; maar in feite wordt het hele onderwerp nagejaagd ter wille van het begrijpen.Brouwer ziet het goede van de wiskunde in het vermogen om het handelen van de wil in de ‘wereld’ te vergemakkelijken, maar alleen maar op grond van zijn opvatting van de wereld, als iets dat wij geconstrueerd hebben uit georganiseerde gewaarwordingen, onthult zijn wiskunde, “door geen voorstelling begrensde’ wereld, en op een hoger niveau, een stap hoger, de vrije wil en de macht daarvan over alle vooronderstelde logische apriori. Het vrij tot ontplooiing komen van de wiskunde onderricht ons in de macht van de vrije wil. Het kan de vooronderstelde logische apriori doen wankelen, en zelfs die vooronderstelde universele en onmisbare wetten omzeilen. Brouwer’s verplichting aan Schopenhauer is volledig duidelijk. [16]. Voor beiden gaat de Wil aan het Verstand vooraf. In zijn vrijheid kan de Wil de ‘kinderen van het brein’ vermoorden, hij kan zelfs de wetten van de logica om zeep helpen. Gödel ziet Het Goede van het bedrijven van wiskunde begripsmatig. Het onthult de macht van de logisch apriori, en de universaliteit ervan. Het doordringt de hele Werkelijkheid, en daarom kan de Geest zichzelf daar niet van bevrijden. Met het oog hierop en in sterk contrast tot Brouwer, bagatelliseert Gödel de vrijheid van de wil fors, in de volgende betekenis. Tegen Rucker zei hij, Het zou mogelijk kunnen zijn om een volledige theorie van het menselijk gedrag op te stellen, d.w.z. uit de erfelijke en omgevingsgegevens te voorspellen wat iemand zal doen. Wanneer echter een kwaadwillend iemand zich in deze theorie zou bekwamen, kan hij op een zodanige manier handelen, dat hij die ontkent. Vandaar dat ik tot de conclusie kom dat er zo’n theorie bestaat, maar dat geen kwaadwillend iemand er iets van zal leren. […] Het a priori wordt hogelijk verwaarloosd. De logica is zeer machtig. [18, p.181]Dit is uiterst onthullend over de diepte van de Goedheid van de dingen. Het betekent dat, ofschoon er zelfs in principe diepe vrijheden bestaan, zij aan iemand die ze voor kwade bedoelingen of onheil zou willen gebruiken, onthouden worden. Brouwer en Gödel zouden het dus met elkaar eens zijn dat Het Goede gezocht moet worden; maar zij zouden het oneens zijn over de rol die de wiskunde in die zoektocht zou kunnen spelen. 4 Een deel-argument tegen de GKS Wij stellen dus dat, als je voldoende sterk gelooft in de stabiliteit van de wiskunde om te onderkennen, dat ondanks hun verschillen—de verschillen tussen de klassieke en de intuitionistische wiskunde—, Gödel en Brouwer het over hetzelfde onderwerp hebben (d.w.z. de wiskunde), dat hun twee kwesties samen als een tegenwerping tegen de “gemeenschappelijke kern”-stelling fungeren; voor wat er resteert voor een gemeenschappelijke kern van waarheden, leidt de wiskunde je, als het aan Gödel ligt, naar Het Absolute, terwijl volgens Brouwer, hetzelfde je ervan afleidt? Wat iemand, volgens Gödel, toegang geeft tot Het Absolute, ontzegt het, volgens Brouwer, deze toegang. Maar als beiden de waarheid spreken, wat wij ter wille van het betoog aannemen, dan moet dit betekenen, dat zij met Het Goede iets anders bedoelen. Daarom kunnen Brouwer en Gödel, als zij over Het Goede spreken, niet naar hetzelfde verwijzen. Bedenk wel, dat dit betoog niet aantoont dat de GKS onwaar is; maar, als het juist is, toont het het volgende aan: zolang wij niet weten dat Gödel’s of Brouwer’s standpunt onwaar is, is er geen bewijsgrond voor de GKS. We blijven er dus bij, dat een bewijs voor de GKS zou moeten aantonen, dat de standpunten van Gödel en Brouwer niet beide waar kunnen zijn. Dat vaststellen, zou in feite een sterkere conclusie betekenen dan die van ons, die dat wel impliceert, maar er niet door geïmpliceerd wordt. Het lijkt echter veel eenvoudiger een zodanig verschil in benaderingswijze aan te duiden, dat het de overeenkomst, waar het naar verwijst, uitsluit, dan rechtstreeks de waarheid of onwaarheid van die mystieke standpunten vast te stellen. Wij proberen dus iets over de GKS te zeggen, onder vermijding van het maken van leerstellige opmerkingen over hoe Het Absolute echt is. Wij laten dat achterwege (ten koste van het onvermogen iets rechtstreeks over de waarheid van de GKS te zeggen) en concentreren ons op manieren om toegang tot Het Absolute te verkrijgen. Gezien het feit dat er in de geschiedenis veel, zowel leerstellige als methodologische meningsverschillen zijn geweest, zien wij geen redden waarom in het algemeen een argument voor een manier van toegang, voedzamer zou zijn dan een leerstellig argument. Het verband tussen alternatieve (zogenaamde) methoden is wellicht zo onduidelijk of onnauwkeurig, dat het geen bewijsgrond oplevert. Wat de kwestie Gödel/Brouwer anders maakt is dat hun specifieke impliciete meningsverschil over de methode, een formulering als een scherpe antithese toestaat, en de wiskunde, waar zij het met elkaar niet over eens zijn, is zelf iets zeer stabiels. 5 Slotopmerkingen We zouden willen besluiten met de volgende twee opmerkingen. Op de eerste plaats kan iemand, en doet dat gewoonlijk ook, zich met de wiskunde bezighouden terwille van de wiskunde zelf, zonder enige belangstelling, of het nou positief of negatief is, voor het in verband brengen daarvan met de mystiek. Vanuit het standpunt van Gödel en Brouwer zou dat waarschijnlijk lijken op het ten uitvoer brengen van een hymne terwille van de hymne zelf, zonder enige belangstelling voor de religieuze bedoeling, die het zou kunnen hebben. De tweede opmerking staat in verband met de eerste. Ondanks de onevenredigheid van de standpunten van Brouwer en Gödel, hebben hun respectievelijke drijfveren om de mystieke ommekeer te maken, veel gemeen. Beiden waren ontevreden over de materialistische en formalistische filosofieën, die in hun tijd vigeerden; beiden waren van mening, dat die filosofieën aan Het Goede geen recht deden. Litteratuur [1] L.E.J. Brouwer. Leven, kunst en mystiek. J. Waltman Jr., Delft, 1905. English translation in Notre Dame Journal of Formal Logic, 37(3):381–429, 1996. [2] L.E.J. Brouwer. Over de grondslagen der wiskunde. PhD thesis, Universiteit van Amsterdam, 1907. English translation in [7]. [3] L.E.J. Brouwer. De onbetrouwbaarheid der logische principes. Tijdschrift voor Wijsbegeerte, 2:152–158, 1908. English translation in [7]. [4] L.E.J. Brouwer. Mathematik, Wissenschaft und Sprache. Monatshefte für Mathematik und Physik, 36:153–164, 1929. Also in [7]. [5] L.E.J. Brouwer. Consciousness, philosophy and mathematics. Proceedings of the 10th International Congress of Philosophy, Amsterdam 1948, 3:1235–1249, 1948. Also in [7]. [6] L.E.J. Brouwer. The effect of intuitionism on classical algebra of logic. Proceedings of the Royal Irish Academy, 57:113–116, 1955. Also in [7]. [7] L.E.J. Brouwer. Collected works I. Philosophy and Foundations of Mathematics (ed. A. Heyting). North-Holland, Amsterdam, 1975. [8] D. van Dalen. Mystic, geometer, and intuitionist. The life of L.E.J. Brouwer. 1: The dawning revolution. Clarendon Press, Oxford, 1999. [9] D. van Dalen. L.E.J. Brouwer 1881–1966. Een biografie. Het heldere licht van de wiskunde. Bert Bakker, Amsterdam, 2001. [10] J.W. Dawson, Jr. Logical dilemmas. The life and work of Kurt Gödel. A K Peters, Wellesley, 1997. [11] W. Ewald. From Kant to Hilbert. Readings in the foundations of mathematics. Oxford University Press, Oxford, 1996. [12] K. Gödel. What is Cantor’s continuum problem? In P. Benacerraf and H. Putnam, editors, Philosophy of mathematics: selected readings. (2nd ed.), pages 470–485. Cambridge University Press, Cambridge, 1983. Also [13], pp.254–270. [13] K. Gödel. Collected Works. II. Publications 1938–1974 (ed. S. Feferman et al.). Oxford University Press, Oxford, 1990. [14] G.H. Hardy. A mathematician’s apology. Cambridge University Press, Cambridge, 1940. [15] D. Hilbert. Axiomatisches Denken. Mathematische Annalen, 78:405–415, 1918. English translation in [11]. [16] T. Koetsier. Arthur Schopenhauer and L.E.J. Brouwer, a comparison. In Combined Proceedings for the Sixth and Seventh Midwest History of Mathematics Conferences, pages 272–290. Department of Mathematics, University of Wisconsin-La Crosse, La Crosse, 1998. [17] S. Rosen. The limits of analysis. Basic Books, New York, 1980. Reprint St. Augustine’s Press, South Bend, 2000. [18] R. Rucker. Infinity and the mind. Birkhäuser, Basel, 1983. [19] W.P. van Stigt. Brouwer’s intuitionism. North-Holland, Amsterdam, 1990. [20] W.P. van Stigt. Introduction to ‘Life, art and mysticism’. Notre Dame Journal of Formal Logic, 37(3):381–387, 1996. [21] H. Wang. Reflections on Kurt Gödel. MIT Press, Cambridge, MA, 1988. [22] H. Wang. A logical journey. From Gödel to philosophy. MIT Press, Cambridge, MA, 1996.
|
