Zie
(niet-mobiele) website:
www.levenkunstmystiek.info
Brouwer’s kritiek
op
‘het hersenschimmig alles’,
door prof. J. H. van den Berg
Uit: “GEDANE ZAKEN” door Prof. Dr.
Jan
Hendrik van den Berg,
1977
De kritiek op het
hersenschimmig alles is
van 1907. In dat jaar
verscheen
het proefschrift van de nederlandse wiskundige Brouwer, aan welk
proefschrift
de drie woorden zijn
ontleend.
Luitzen Egbertus Jan
Brouwer werd op 27 februari 1881 te Overschie geboren. Hij bezocht de
hogere
burgerschool in Hoorn waarna het gymnasium in Haarlem, en liet zich in
1897 aan
de Universiteit van Amsterdam inschrijven in de wis- en natuurkunde. In
1907
promoveerde hij cum laude op het proefschrift Over de
grondslagen der
wiskunde. Het jaar erop verscheen zijn opzienbarende artikel (in
het Tijdschrift
voor Wijsbegeerte) over De onbetrouwbaarheid
der logische
principes, waaruit
aanstonds enkele gedachten. Vanaf 1909 was Brouwers hoogleraar aan de
universiteit van Amsterdam. In 1966 overleed hij door
een
verkeersongeval.
Het hersenschimmig alles, daarover ging het zojuist toen ik de lezer verzocht zich voor te willen stellen wat men zegt met zo’n gemakkelijke uitdrukking als alle gehele getallen of alle decimalen van π. Wat met de simpele woorden gezegd is valt niet te overzien, ligt buiten alle bevatting, ontsnapt aan werkelijk begrip, en mag daarom met recht hersenschimmig genoemd worden. Het behoeft ons niet te verwonderen, schrijft Brouwers in zijn proefschrift (blz. 162), dat de Cantorianen op contradicties
stooten, en hun eigen verwondering kan alleen zijn te wijten aan begripsverwarring.
In het artikel van 1908 maakte Brouwer dit nader duidelijk met zijn voor velen ergerniswekkende kritiek op de wiskundige toepassing van het logische principe ‘van de uitgesloten derde’. Van dat principe maakt ieder dagelijks gebruik. Bijvoorbeeld. Men wacht in het duister tot de regen ophoudt. Om zich ervan te vergewissen of het nog regent houdt men de hand buiten de overdekte plek waar men schuilt. Op de hand voelt men geen regen. Het is droog, luidt de conclusie. De conclusie grondt op het logische principe ‘van de uitgesloten derde’, het principium tertii exclusi, met deze inhoud dat, wanneer van twee elkaar tegensprekende vaststellingen de ene vaststelling niet waar is, de andere juist dient te zijn — aangezien een derde mogelijkheid niet bestaat. Het regent of het is droog. Regent het niet, dan is het droog. Want een derde mogelijkheid bestaat niet. Bevat de telefoongids van de eigen woonplaats, die elke abonnee met zes cijfers bedeelt, dit telefoonnummer: 666666? Ja of nee. Geen derde antwoord is mogelijk. Wie wil weten of het nummer 666666 inderdaad wel of niet voorkomt, opent de gids en volgt de kolommen nummers.
Bij het laatste
begon
Brouwer’s kritiek op het befaamde, nooit betwijfelde logische beginsel
van de
uitgesloten derde. Dat wil zeggen, Brouwer aanvaardde het beginsel van
de
uitgesloten derde voor eindige verzamelingen, zoals de
verzameling
telefoonnummers in de telefoongids. Hij aanvaardde het gebruik van dit
beginsel
voor oneindige verzamelingen niet. Ziehier zijn
verduidelijking,
met iets andere woorden dan die men
bij
Brouwer vindt.
Komen in de opeenvolging van de decimalen van π zes zessen achter elkaar voor? Dat is de vraag die Brouwer zijn lezers voorlegt. Ofwel: ziet de decimale ontwikkeling van π er als volgt uit:
π = 3,14159....666666...
In dit boek vindt de lezer de tabel met de eerste
tweeduizend
decimalen. De
opeenvolging van zes cijfers zes treft men er niet. Maar het getal π
bezit, in
decimale ontwikkeling, meer decimalen dan tweeduizend. Aanmerkelijk
meer. Oneindig veel meer. Zouden de zes zessen achter elkaar
eronder
voorkomen? Ja of nee, zou men zeggen, een derde
mogelijkheid bestaat
niet. Welnu, tegen
deze vaststelling heeft Brouwer onoverkomelijk bezwaar. Het valt
eenvoudig
niet uit te maken, of de zes zessen al dan niet in de ‘oneindige
rij
decimalen’ voorkomen, zolang men ze in de beschikbare decimalen niet
ziet. De
uitspraak ja of nee doet alsof de decimalen te
overzien zijn. Dat
zijn ze niet, en wel principieel niet. Wat buiten het overzienbare
ligt:
daarover zal men geen oordeel vellen. Ziedaar het tertium datur: het
‘derde bestaat wèl’ van Brouwer. Bij oneindigheden past het,
wanneer daarover
uitspraken verlangd worden, en tussen ja en nee (gezien
het
eindige stukje dat men van die oneindigheid heeft) geen beslissing kan
vallen,
te zeggen: ik weet het niet. Of: zolang ik de betreffende zaak
niet
aantref, doe ik geen uitspraak. Wat weet ik, eindige, van wat
daar bij
de zoveelste decimaal is? Wel, daar is met veel moeite nog wel achter
te komen.
Maar daar ‘op oneindig’: dat ontsnapt aan mijn greep. Dan daar
ook geen
oordeel, Op oneindig: het is beter de kreet niet te slaken.
Want het is niets meer dan een
kreet.
Het is duidelijk dat Brouwer met een gedachtengang als deze — waar geen wiskundige een speld vermocht of vermag tussen te krijgen — het bewijs uit het ongerijmde in de beginsel afwees, zeker wanneer daarmee ‘oneindigheid’ gemoeid was. Mocht blijken dat de onderstelling ‘in de decimalen van π komen zes zessen niet achter elkaar voor’ op ongerijmdheden stoot, dan mag daaruit toch niet worden besloten dat de zes zessen wel voorkomen. Dat wil zeggen, ook bij de kritiek op het bewijs uit het ongerijmde staat Brouwer’s bezwaar tegen de toepassing van het beginsel van de uitgesloten derde, daar waar het niet-te-overziene, ‘het oneindige’, in het geding is, voorop.
‘Het oneindige’
Maar wat
werkelijk
vooropstaat in
Brouwer’s protest is zijn weigering om gemakkelijk, onnadenkend, dat is
onverantwoordelijk te praten over ‘het oneindige’ — zo men niet moet
zeggen dat
Brouwer tegen praten in het algemeen over ‘het oneindige’ bezwaar
heeft.
Niemand weet, in feite, wat hij dan zegt. ‘Het oneindige’, direct
verwant als dit woord is aan de kreet alles, behoort tot een
even
overmoedig als blind denkpatroon. Het is juist zo gemakkelijk en vals,
letterlijk uitzichtloos, als het woord Vooruitgang, waaraan
het
onmiddellijk verwant is. Nu het met de Vooruitgang gedaan is,
siert het
ons de progres-sieve woorden als cultuurbedrog (volksbedrog) te
ontmaskeren en
af te schaffen. Ons
past bescheidenheid.
